Теория: теоремы и формулы

Все, на что опираются решения GeoSolver. В каждом шаге решения есть кнопка «Почему так?» — она ведет сюда.

Треугольник

• Теорема Пифагора
  В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
• Теорема косинусов
  Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус их удвоенное произведение на косинус угла между ними.
• Теорема синусов
  Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, а коэффициент равен диаметру описанной окружности.
• Формула Герона
  Площадь треугольника по трем сторонам через полупериметр.
• Сумма углов треугольника
  Сумма углов любого треугольника равна 180°.
• Площадь треугольника
  Площадь треугольника — половина произведения стороны на высоту к ней или двух сторон на синус угла между ними.
• Медиана треугольника
  Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны; ее длина выражается через три стороны.
• Биссектриса треугольника
  Биссектриса делит угол пополам, а противоположную сторону — в отношении прилежащих сторон.
• Синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике
  Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего катета к гипотенузе, тангенс — катетов.
• Свойства прямоугольного треугольника
  Площадь — половина произведения катетов; высота к гипотенузе, радиусы окружностей и медиана выражаются через стороны.
• Равнобедренный треугольник
  Углы при основании равны, а высота к основанию — одновременно медиана и биссектриса.
• Равносторонний треугольник
  Все стороны равны, все углы по 60°; высота, площадь и радиусы выражаются через сторону.

Окружности

• Вписанная окружность
  Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис; радиус равен площади, деленной на полупериметр.
• Описанная окружность
  Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
• Длина окружности и площадь круга
  Длина окружности равна 2πr, площадь круга — πr²; длина дуги и площадь сектора пропорциональны центральному углу.
• Сектор и сегмент круга
  Сектор — часть круга между двумя радиусами, сегмент — между хордой и дугой.

Четырехугольники и многоугольники

• Периметр и полупериметр
  Периметр — сумма длин всех сторон, полупериметр — его половина.
• Прямоугольник и квадрат
  Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам; квадрат — прямоугольник с равными сторонами.
• Параллелограмм
  Противоположные стороны и углы равны, соседние углы в сумме дают 180°, диагонали делятся пополам.
• Ромб
  Все стороны равны, диагонали перпендикулярны, делят друг друга и углы ромба пополам.
• Трапеция
  Средняя линия — полусумма оснований, площадь — средняя линия, умноженная на высоту.
• Правильный шестиугольник
  Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной a.

Многогранники

• Куб и прямоугольный параллелепипед
  Объем — произведение трех измерений, квадрат диагонали — сумма их квадратов.
• Правильная пирамида и тетраэдр
  Объем пирамиды — треть произведения площади основания на высоту; боковая поверхность — полупериметр основания на апофему.
• Прямая призма
  Объем призмы — площадь основания, умноженная на высоту; боковая поверхность — периметр основания на высоту.

Тела вращения

• Шар и сфера
  Площадь сферы равна 4πR², объем шара — 4/3·πR³.
• Цилиндр
  Объем цилиндра — площадь основания на высоту, боковая поверхность — длина окружности основания на высоту.
• Конус
  Объем конуса — треть объема цилиндра с тем же основанием и высотой; образующая находится по теореме Пифагора.
• Усеченный конус
  Часть конуса между основанием и параллельным ему сечением.