Площадь треугольника

Площадь треугольника — половина произведения стороны на высоту к ней или двух сторон на синус угла между ними.

Формулировка. S = ½·a·hₐ = ½·ab·sin γ. Через радиусы: S = abc / (4R) = p·r. Отсюда же высота: hₐ = 2S / a.

Синим — известные величины, красным — та, что находится по формуле

Формулы

Через сторону и высоту

S = \frac{1}{2} a h_{a}

Через две стороны и угол

S = \frac{1}{2} a b \sin γ

Высота через площадь

h_{a} = \frac{2 S}{a}

Через радиусы

S = \frac{a b c}{4 R} = p r

Треугольник — половина параллелограмма с той же стороной и высотой, поэтому S = ½·a·hₐ. Высота к стороне a равна b·sin γ, отсюда S = ½·ab·sin γ.

Обратные задачи решаются той же формулой: по площади и стороне находят высоту, по площади и двум сторонам — синус угла.

Две стороны треугольника равны 8 см и 10 см, а угол между ними равен 30°. Найдите площадь треугольника.

Шаг решения по этой теме:

S = \frac{1}{2} a b \sin γ

S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin (30^{\circ})

S = 20

Ответ: 20 см² · Полное решение с чертежом →