Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, а коэффициент равен диаметру описанной окружности.

Формулировка. В любом треугольнике a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R, где R — радиус описанной окружности.

Синим — известные величины, красным — та, что находится по формуле

Формулы

Теорема синусов

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ} = 2 R

Сторона

b = \frac{a \sin β}{\sin α}

Радиус описанной окружности

R = \frac{a}{2 \sin α}

Почему это верно

Проведем диаметр BA′ описанной окружности. Вписанный угол BA′C опирается на ту же дугу, что и угол A, поэтому равен α, а треугольник BA′C прямоугольный (опирается на диаметр). Значит, a = BC = 2R·sin α. Так же b = 2R·sin β и c = 2R·sin γ.

Если известны две стороны и угол не между ними, синус дает два возможных угла (острый и тупой) — тогда треугольников может быть два. GeoSolver в таком случае показывает оба решения.

Пример

Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Шаг решения по этой теме:

R = \frac{a}{2 \sin α}

R = \frac{13}{2 \cdot \sin ({53.1301}^{\circ})}

R = 8.125

Ответ: 65/8 = 8,125 см · Полное решение с чертежом →

Задачи с решением

Калькуляторы

Произвольный треугольник · Равнобедренный треугольник

Треугольник: другие статьи

Вся теория