Трапеция

Средняя линия — полусумма оснований, площадь — средняя линия, умноженная на высоту.

Формулировка. m = (a + b)/2, S = (a + b)/2 · h = m·h. В равнобедренной трапеции проекция боковой стороны на основание равна (a − b)/2, поэтому h = √(c² − ((a − b)/2)²), а диагональ d = √(h² + ((a + b)/2)²). В прямоугольной трапеции одна боковая сторона равна высоте, наклонная — √(h² + (a − b)²).

Синим — известные величины, красным — та, что находится по формуле

Формулы

Средняя линия

m = \frac{a + b}{2}

Площадь

S = \frac{a + b}{2} h

Высота равнобедренной

h = \sqrt{c^{2} - {(\frac{a - b}{2})}^{2}}

Диагональ равнобедренной

d = \sqrt{h^{2} + {(\frac{a + b}{2})}^{2}}

Почему это верно

Диагональ делит трапецию на два треугольника с общей высотой h и основаниями a и b: S = ½ah + ½bh.

Опустим высоты из концов меньшего основания: большее основание разобьется на b и два отрезка-проекции боковых сторон. Для каждой боковой стороны получается прямоугольный треугольник — через него и находят высоту, углы и стороны.

Пример

Основания равнобедренной трапеции равны 14 см и 6 см, боковая сторона — 5 см. Найдите площадь трапеции.

Шаг решения по этой теме:

h = \sqrt{c^{2} - {(\frac{a - b}{2})}^{2}}

h = \sqrt{5^{2} - {(\frac{14 - 6}{2})}^{2}} = \sqrt{25 - 16}

h = 3

Ответ: 30 см² · Полное решение с чертежом →

Задачи с решением

Калькуляторы

Равнобедренная трапеция · Произвольная трапеция · Прямоугольная трапеция

Четырехугольники и многоугольники: другие статьи

Периметр и полупериметр · Прямоугольник и квадрат · Параллелограмм · Ромб · Правильный шестиугольник

Вся теория