Равнобедренный треугольник

Углы при основании равны, а высота к основанию — одновременно медиана и биссектриса.

Формулировка. Если b — боковая сторона, a — основание, α — угол при вершине, β — угол при основании, то β = (180° − α)/2, высота к основанию h = √(b² − a²/4), основание a = 2b·sin(α/2).

Синим — известные величины, красным — та, что находится по формуле

Формулы

Высота к основанию

h_{a} = \sqrt{b^{2} - \frac{a^{2}}{4}}

Угол при основании

β = \frac{180^{\circ} - α}{2}

Основание

a = 2 b \sin \frac{α}{2}

Площадь

S = \frac{1}{2} a h_{a} = \frac{1}{2} b^{2} \sin α

Почему это верно

Высота к основанию делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой b и катетом a/2. Отсюда по теореме Пифагора h = √(b² − a²/4), а из синуса половины угла при вершине — a = 2b·sin(α/2).

Пример

Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите площадь треугольника.

Шаг решения по этой теме:

S = \frac{1}{2} a \cdot h_{a}

S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12

S = 60

Ответ: 60 см² · Полное решение с чертежом →

Задачи с решением

Калькуляторы

Равнобедренный треугольник

Треугольник: другие статьи

Теорема Пифагора · Теорема косинусов · Теорема синусов · Формула Герона · Сумма углов треугольника · Площадь треугольника · Медиана треугольника · Биссектриса треугольника · Синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике · Свойства прямоугольного треугольника · Равносторонний треугольник

Вся теория