Конус

Объем конуса — треть объема цилиндра с тем же основанием и высотой; образующая находится по теореме Пифагора.

Формулировка. l = √(R² + h²), V = ⅓·πR²h, S_бок = πRl, S = πR(R + l). Осевое сечение — равнобедренный треугольник площадью R·h, угол наклона образующей: tg α = h/R. Радиус описанной сферы (h² + R²)/(2h), вписанной — Rh/(R + l).

Синим — известные величины, красным — та, что находится по формуле

Формулы

Образующая

l = \sqrt{R^{2} + h^{2}}

Объем

V = \frac{1}{3} π R^{2} h

Боковая поверхность

S_{б о к} = π R l

Полная поверхность

S = π R (R + l)

Почему это верно

Высота, радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник — отсюда образующая и угол наклона. Развертка боковой поверхности — сектор радиуса l с дугой 2πR, его площадь ½·l·2πR = πRl.

Пример

Радиус основания конуса равен 3 см, высота — 4 см. Найдите объем конуса.

Шаг решения по этой теме:

V = \frac{1}{3} π R^{2} h

V = \frac{1}{3} π \cdot 3^{2} \cdot 4

V = 37.6991

Ответ: 12π ≈ 37,7 см³ · Полное решение с чертежом →

Задачи с решением

Калькуляторы

Конус

Тела вращения: другие статьи

Шар и сфера · Цилиндр · Усеченный конус

Вся теория