Главная › Теория › Свойства прямоугольного треугольника

Свойства прямоугольного треугольника

Площадь — половина произведения катетов; высота к гипотенузе, радиусы окружностей и медиана выражаются через стороны.

Формулировка. S = ab/2 = ch/2, высота к гипотенузе h = ab/c, радиус вписанной окружности r = (a + b − c)/2, радиус описанной окружности R = c/2 (центр — середина гипотенузы).

Синим — известные величины, красным — та, что находится по формуле

Формулы

Площадь

S = \frac{a b}{2}

Высота к гипотенузе

h = \frac{a b}{c}

Вписанная окружность

r = \frac{a + b - c}{2}

Описанная окружность

R = \frac{c}{2}

Почему это верно

Площадь можно найти двумя способами — через катеты и через гипотенузу с высотой: ab/2 = ch/2, отсюда h = ab/c.

Отрезки касательных из вершины к вписанной окружности равны. Из вершины прямого угла они равны r, поэтому c = (a − r) + (b − r), то есть r = (a + b − c)/2. Прямой угол опирается на диаметр описанной окружности, значит R = c/2.

Пример

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Шаг решения по этой теме:

h = \frac{a \cdot b}{c}

h = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{48}{10}

h = 4.8

Ответ: 4,8 см · Полное решение с чертежом →

Задачи с решением

Калькуляторы

Прямоугольный треугольник

Треугольник: другие статьи

Теорема Пифагора · Теорема косинусов · Теорема синусов · Формула Герона · Сумма углов треугольника · Площадь треугольника · Медиана треугольника · Биссектриса треугольника · Синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике · Равнобедренный треугольник · Равносторонний треугольник

Вся теория