Описанная окружность

Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Формулировка. Для треугольника R = abc/(4S) = a/(2·sin α). У прямоугольного треугольника R = c/2, у прямоугольника R = d/2, у правильного шестиугольника R = a. Около четырехугольника окружность описывается, только если сумма противоположных углов равна 180°.

Синим — известные величины, красным — та, что находится по формуле

Формулы

Через стороны и площадь

R = \frac{a b c}{4 S}

Через сторону и угол

R = \frac{a}{2 \sin α}

Прямоугольный треугольник

R = \frac{c}{2}

Прямоугольник

R = \frac{d}{2}

Почему это верно

Центр равноудален от всех вершин, поэтому лежит на серединных перпендикулярах к сторонам. Формула R = a/(2·sin α) — это теорема синусов; подставив sin α = 2S/(bc), получаем R = abc/(4S).

Из равнобокости трапеции следует, что около нее можно описать окружность; около произвольной трапеции — нельзя.

Пример

Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найдите радиус описанной окружности.

Шаг решения по этой теме:

R = \frac{c}{2}

R = \frac{13}{2}

R = 6.5

Ответ: 6,5 см · Полное решение с чертежом →

Задачи с решением

Калькуляторы

Прямоугольный треугольник · Произвольный треугольник · Равносторонний треугольник · Равнобедренный треугольник · Прямоугольник · Квадрат · Равнобедренная трапеция · Правильный шестиугольник

Окружности: другие статьи

Вписанная окружность · Длина окружности и площадь круга · Сектор и сегмент круга

Вся теория