Медиана треугольника

Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны; ее длина выражается через три стороны.

Формулировка. Медиана к стороне a: mₐ = ½·√(2b² + 2c² − a²). Три медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Синим — известные величины, красным — та, что находится по формуле

Формулы

Длина медианы

m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}

Почему это верно

Достроим треугольник до параллелограмма, удвоив медиану. Его диагонали — 2mₐ и a, стороны — b и c. В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: (2mₐ)² + a² = 2b² + 2c², откуда и формула.

Медиана к гипотенузе прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы.

Пример

Стороны треугольника равны 8 см, 7 см и 9 см. Найдите медиану, проведенную к стороне длиной 8 см.

Шаг решения по этой теме:

m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}

m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 7^{2} + 2 \cdot 9^{2} - 8^{2}}

m_{a} = 7

Ответ: 7 см · Полное решение с чертежом →

Задачи с решением

Калькуляторы

Произвольный треугольник

Треугольник: другие статьи

Теорема Пифагора · Теорема косинусов · Теорема синусов · Формула Герона · Сумма углов треугольника · Площадь треугольника · Биссектриса треугольника · Синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике · Свойства прямоугольного треугольника · Равнобедренный треугольник · Равносторонний треугольник

Вся теория