Биссектриса треугольника

Биссектриса делит угол пополам, а противоположную сторону — в отношении прилежащих сторон.

Формулировка. Биссектриса угла A делит сторону a на отрезки, пропорциональные сторонам b и c. Ее длина lₐ = 2bc·cos(α/2) / (b + c), или через три стороны lₐ = √(bc(b + c + a)(b + c − a)) / (b + c).

Синим — известные величины, красным — та, что находится по формуле

Формулы

Через две стороны и угол

l_{a} = \frac{2 b c \cos \frac{α}{2}}{b + c}

Через три стороны

l_{a} = \frac{\sqrt{b c (b + c + a) (b + c - a)}}{b + c}

Свойство биссектрисы

\frac{B D}{D C} = \frac{c}{b}

Почему это верно

Биссектриса разбивает треугольник на два. Сложим их площади: ½·bc·sin α = ½·b·lₐ·sin(α/2) + ½·c·lₐ·sin(α/2). Так как sin α = 2·sin(α/2)·cos(α/2), получаем lₐ = 2bc·cos(α/2) / (b + c).

Пример

Стороны треугольника равны 7 см, 5 см и 8 см. Найдите биссектрису, проведенную к стороне длиной 7 см.

Шаг решения по этой теме:

l_{a} = \frac{2 \sqrt{b c p (p - a)}}{b + c}, p = \frac{a + b + c}{2}

p = 10, l_{a} = \frac{2 \sqrt{5 \cdot 8 \cdot 10 \cdot (10 - 7)}}{5 + 8}

l_{a} = 5.3294

Ответ: 40√3/13 ≈ 5,33 см · Полное решение с чертежом →

Задачи с решением

Калькуляторы

Произвольный треугольник

Треугольник: другие статьи

Теорема Пифагора · Теорема косинусов · Теорема синусов · Формула Герона · Сумма углов треугольника · Площадь треугольника · Медиана треугольника · Синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике · Свойства прямоугольного треугольника · Равнобедренный треугольник · Равносторонний треугольник

Вся теория