Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формулировка. Если в треугольнике угол между сторонами a и b прямой, то для гипотенузы c выполняется c² = a² + b². Верно и обратное: если c² = a² + b², то угол против стороны c прямой.

Синим — известные величины, красным — та, что находится по формуле

Формулы

Теорема Пифагора

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Гипотенуза

c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Катет

a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}

Почему это верно

Возьмем квадрат со стороной a + b и разместим внутри четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами a и b так, чтобы их гипотенузы образовали квадрат со стороной c. Площадь большого квадрата можно посчитать двумя способами: (a + b)² = 4 · ab/2 + c². Раскрыв скобки, получаем a² + b² = c².

Теорема Пифагора — самый частый шаг в задачах: через нее находят диагонали прямоугольника и параллелепипеда, высоты равнобедренного треугольника и трапеции, апофемы и образующие.

Пример

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите гипотенузу.

Шаг решения по этой теме:

c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

c = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100}

c = 10

Ответ: 10 см · Полное решение с чертежом →

Задачи с решением

Калькуляторы

Прямоугольный треугольник · Равнобедренный треугольник · Прямоугольник · Равнобедренная трапеция · Ромб · Прямоугольная трапеция · Конус

Треугольник: другие статьи

Вся теория