Главная › Теория › Формула Герона

Формула Герона

Площадь треугольника по трем сторонам через полупериметр.

Формулировка. Если a, b, c — стороны треугольника и p = (a + b + c)/2 — полупериметр, то S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)).
ABCSabc
Синим — известные величины, красным — та, что находится по формуле

Формулы

Формула Герона
S=p(p−a)(p−b)(p−c)
Полупериметр
p=a+b+c2

Почему это верно

Формула следует из S = ½·ab·sin γ и теоремы косинусов: sin² γ = 1 − cos² γ, где cos γ = (a² + b² − c²)/(2ab). После подстановки и разложения разности квадратов на множители получаются ровно четыре сомножителя p, p − a, p − b, p − c.

Пример: для сторон 13, 14, 15 полупериметр p = 21, S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84.

Пример

Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите площадь треугольника.

Шаг решения по этой теме:

S=p(p−a)(p−b)(p−c),p=a+b+c2p=13+14+152=21,S=21(21−13)(21−14)(21−15)S=84

Ответ: 84 см² · Полное решение с чертежом →

Задачи с решением

Калькуляторы

Произвольный треугольник · Произвольная трапеция

Треугольник: другие статьи

Теорема Пифагора · Теорема косинусов · Теорема синусов · Сумма углов треугольника · Площадь треугольника · Медиана треугольника · Биссектриса треугольника · Синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике · Свойства прямоугольного треугольника · Равнобедренный треугольник · Равносторонний треугольник

Вся теория