Вписанная окружность

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис; радиус равен площади, деленной на полупериметр.

Формулировка. Для треугольника и любого многоугольника, в который можно вписать окружность, S = p·r, то есть r = S/p. В четырехугольник окружность вписывается, только если суммы противоположных сторон равны.

Синим — известные величины, красным — та, что находится по формуле

Формулы

Радиус

r = \frac{S}{p}

Прямоугольный треугольник

r = \frac{a + b - c}{2}

Квадрат и ромб

r = \frac{a}{2}, r = \frac{h}{2}

Правильный шестиугольник

r = \frac{a \sqrt{3}}{2}

Почему это верно

Соединим центр окружности с вершинами: многоугольник распадется на треугольники с высотой r и основаниями — сторонами. Их площади в сумме дают S = ½·r·(a + b + c + …) = p·r.

Пример

Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Шаг решения по этой теме:

r = \frac{S}{p}, p = \frac{a + b + c}{2}

p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21, r = \frac{84}{21}

r = 4

Ответ: 4 см · Полное решение с чертежом →

Задачи с решением

Калькуляторы

Прямоугольный треугольник · Произвольный треугольник · Равносторонний треугольник · Равнобедренный треугольник · Квадрат · Ромб · Правильный шестиугольник

Окружности: другие статьи

Описанная окружность · Длина окружности и площадь круга · Сектор и сегмент круга

Вся теория