Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус их удвоенное произведение на косинус угла между ними.

Формулировка. Для любого треугольника со сторонами a, b, c и углом γ против стороны c: c² = a² + b² − 2ab·cos γ. При γ = 90° косинус равен нулю, и получается теорема Пифагора.

Синим — известные величины, красным — та, что находится по формуле

Формулы

Теорема косинусов

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ

Угол по трем сторонам

\cos γ = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}

Почему это верно

Поместим вершину C в начало координат, сторону CB — на ось x: B = (a; 0), A = (b·cos γ; b·sin γ). Тогда c² = AB² = (a − b·cos γ)² + (b·sin γ)² = a² − 2ab·cos γ + b²(cos² γ + sin² γ) = a² + b² − 2ab·cos γ.

Если угол тупой, косинус отрицателен, и сторона против него получается длиннее, чем по Пифагору. Теорема косинусов находит третью сторону по двум сторонам и углу между ними и любой угол по трем сторонам.

Пример

Две стороны треугольника равны 5 см и 8 см, угол между ними — 60°. Найдите третью сторону.

Шаг решения по этой теме:

c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ}

c = \sqrt{5^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos (60^{\circ})}

c = 7

Ответ: 7 см · Полное решение с чертежом →

Задачи с решением

Калькуляторы

Произвольный треугольник · Параллелограмм · Равнобедренный треугольник

Треугольник: другие статьи

Вся теория