Сектор и сегмент круга

Сектор — часть круга между двумя радиусами, сегмент — между хордой и дугой.

Формулировка. Сектор: S = πR²α/360 = ½·L·R, периметр P = 2R + L. Хорда a = 2R·sin(α/2), высота сегмента h = R(1 − cos(α/2)), площадь сегмента — сектор без треугольника: S = ½R²(πα/180 − sin α).

Синим — известные величины, красным — та, что находится по формуле

Формулы

Площадь сектора

S = \frac{π R^{2} α}{360^{\circ}}

Длина дуги

L = \frac{π R α}{180^{\circ}}

Хорда

a = 2 R \sin \frac{α}{2}

Высота сегмента

h = R (1 - \cos \frac{α}{2})

Площадь сегмента

S = \frac{R^{2}}{2} (\frac{π α}{180^{\circ}} - \sin α)

Почему это верно

Площадь сегмента — это площадь сектора минус площадь равнобедренного треугольника с боковыми сторонами R и углом α между ними (½R²·sin α). Если угол больше 180°, треугольник не вычитается, а добавляется — формула учитывает это сама.

Пример

Радиус круга равен 6 см, центральный угол сектора — 60°. Найдите площадь сектора.

Шаг решения по этой теме:

S = \frac{π R^{2} α}{360^{\circ}}

S = \frac{π \cdot 6^{2} \cdot 60^{\circ}}{360^{\circ}}

S = 18.8496

Ответ: 6π ≈ 18,85 см² · Полное решение с чертежом →

Задачи с решением

Калькуляторы

Сектор круга · Сегмент круга

Окружности: другие статьи

Вписанная окружность · Описанная окружность · Длина окружности и площадь круга

Вся теория