Параллелограмм

Противоположные стороны и углы равны, соседние углы в сумме дают 180°, диагонали делятся пополам.

Формулировка. S = a·hₐ = b·h_b = ab·sin α = ½·d₁d₂·sin φ. Диагонали: d₁² + d₂² = 2(a² + b²), d₁² = a² + b² + 2ab·cos α (большая), d₂² = a² + b² − 2ab·cos α (меньшая), где α — острый угол.

Синим — известные величины, красным — та, что находится по формуле

Формулы

Площадь

S = a h_{a} = a b \sin α

Через диагонали

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} \sin φ

Тождество

d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})

Меньшая диагональ

d_{2}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos α

Почему это верно

Меньшая диагональ лежит против острого угла α, большая — против тупого угла 180° − α, поэтому обе находятся по теореме косинусов. Сложив их квадраты, получаем тождество параллелограмма.

Высота hₐ = b·sin α — катет прямоугольного треугольника с гипотенузой b.

Пример

Стороны параллелограмма равны 8 см и 5 см, острый угол — 30°. Найдите площадь параллелограмма.

Шаг решения по этой теме:

S = a \cdot b \cdot \sin α

S = 8 \cdot 5 \cdot \sin (30^{\circ})

S = 20

Ответ: 20 см² · Полное решение с чертежом →

Задачи с решением

Калькуляторы

Параллелограмм

Четырехугольники и многоугольники: другие статьи

Периметр и полупериметр · Прямоугольник и квадрат · Ромб · Трапеция · Правильный шестиугольник

Вся теория