Прямоугольник и квадрат

Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам; квадрат — прямоугольник с равными сторонами.

Формулировка. Прямоугольник: S = ab, d = √(a² + b²), S = ½·d²·sin φ, R = d/2. Квадрат: S = a² = d²/2, d = a√2, r = a/2, R = a√2/2.

Синим — известные величины, красным — та, что находится по формуле

Формулы

Площадь

S = a b

Диагональ

d = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Через диагональ и угол

S = \frac{1}{2} d^{2} \sin φ

Диагональ квадрата

d = a \sqrt{2}

Почему это верно

Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника с катетами a и b — отсюда d = √(a² + b²). Диагонали делят прямоугольник на четыре треугольника с боковыми сторонами d/2 и углом φ или 180° − φ; сумма их площадей и дает ½·d²·sin φ.

Пример

Одна сторона прямоугольника равна 12 см, а диагональ — 13 см. Найдите площадь прямоугольника.

Шаг решения по этой теме:

b = \sqrt{d^{2} - a^{2}}

b = \sqrt{13^{2} - 12^{2}} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25}

b = 5

Ответ: 60 см² · Полное решение с чертежом →

Задачи с решением

Калькуляторы

Прямоугольник · Квадрат

Четырехугольники и многоугольники: другие статьи

Периметр и полупериметр · Параллелограмм · Ромб · Трапеция · Правильный шестиугольник

Вся теория