Правильная пирамида и тетраэдр

Объем пирамиды — треть произведения площади основания на высоту; боковая поверхность — полупериметр основания на апофему.

Формулировка. V = ⅓·S_осн·h, S_бок = ½·P_осн·L. У правильной четырехугольной пирамиды апофема L = √(h² + (a/2)²), боковое ребро b = √(h² + a²/2). Правильный тетраэдр с ребром a: h = a√6/3, V = a³√2/12, S = a²√3.

Синим — известные величины, красным — та, что находится по формуле

Формулы

Объем

V = \frac{1}{3} S_{о с н} h

Боковая поверхность

S_{б о к} = \frac{1}{2} P_{о с н} L

Апофема

L = \sqrt{h^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}}

Тетраэдр

h = \frac{a \sqrt{6}}{3}, V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}

Почему это верно

Высота правильной пирамиды падает в центр основания. Апофема, высота и отрезок от центра до середины стороны основания образуют прямоугольный треугольник — отсюда апофема и угол наклона грани (tg β = h / (a/2)). Боковое ребро, высота и половина диагонали основания образуют другой прямоугольный треугольник.

Боковая поверхность — сумма площадей равных треугольных граней: каждая равна ½·a·L.

Пример

Ребро правильного тетраэдра равно 6 см. Найдите его объем.

Шаг решения по этой теме:

V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}

V = \frac{6^{3} \cdot \sqrt{2}}{12} = \frac{216 \cdot 1.4142}{12}

V = 25.4558

Ответ: 18√2 ≈ 25,46 см³ · Полное решение с чертежом →

Задачи с решением

Калькуляторы

Правильный тетраэдр · Правильная 4-угольная пирамида

Многогранники: другие статьи

Куб и прямоугольный параллелепипед · Прямая призма

Вся теория