GeoЗадание 19 ОГЭ: анализ геометрических утверждений
Что нужно знать и уметь
- свойства и признаки фигур
- формулировки теорем — точно, без «примерно»
Теория к заданию
Утверждения для тренировки
Подумайте, верно ли утверждение, и раскройте ответ. В тренажере они выпадают по три, как на экзамене.
Треугольники
Сумма углов любого треугольника равна 180°.
Верно. Это теорема о сумме углов треугольника. Сумма углов треугольника →
Сумма углов треугольника равна 360°.
Неверно. Сумма углов треугольника равна 180°; 360° — сумма углов четырехугольника. Сумма углов треугольника →
В любом треугольнике хотя бы два угла острые.
Верно. Если бы два угла были не меньше 90°, их сумма уже была бы не меньше 180°. Сумма углов треугольника →
Существует треугольник с двумя тупыми углами.
Неверно. Два тупых угла в сумме больше 180°, а сумма всех углов треугольника — ровно 180°. Сумма углов треугольника →
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Верно. Внешний угол дополняет свой внутренний угол до 180°, как и два других угла треугольника. Сумма углов треугольника →
Внешний угол треугольника равен сумме всех трех его внутренних углов.
Неверно. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Сумма углов треугольника →
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.
Верно. Прямой угол — 90°, на два острых остается 180° − 90° = 90°. Сумма углов треугольника →
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Верно. Это свойство соотношения сторон и углов треугольника.
В треугольнике против большего угла лежит меньшая сторона.
Неверно. Против большего угла лежит большая сторона.
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.
Верно. Это неравенство треугольника.
Существует треугольник со сторонами 1, 2 и 4.
Неверно. 1 + 2 < 4 — нарушено неравенство треугольника, такого треугольника нет.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Верно. Это основное свойство равнобедренного треугольника. Равнобедренный треугольник →
В любом равнобедренном треугольнике все углы равны.
Неверно. Равны только углы при основании; все три угла равны лишь в равностороннем треугольнике. Равнобедренный треугольник →
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его высотой и биссектрисой.
Верно. Это свойство равнобедренного треугольника. Равнобедренный треугольник →
Любая медиана треугольника является его высотой.
Неверно. Медиана совпадает с высотой только в особых случаях — например, медиана к основанию равнобедренного треугольника. Медиана треугольника →
Все углы равностороннего треугольника равны 60°.
Верно. Углы равны, а их сумма 180°, поэтому каждый — 60°. Равносторонний треугольник →
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Верно. Это свойство точки пересечения медиан. Медиана треугольника →
Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану пополам.
Неверно. Медианы делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Медиана треугольника →
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Верно. Это свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса треугольника →
Биссектриса любого треугольника делит противоположную сторону пополам.
Неверно. Пополам сторону делит медиана; биссектриса делит ее пропорционально прилежащим сторонам. Биссектриса треугольника →
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Верно. Это теорема Пифагора. Теорема Пифагора →
В любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон.
Неверно. Так только в прямоугольном треугольнике (теорема Пифагора); в общем случае — теорема косинусов. Теорема косинусов →
Гипотенуза прямоугольного треугольника больше любого из его катетов.
Верно. Гипотенуза лежит против прямого угла — наибольшего угла треугольника. Теорема Пифагора →
Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.
Верно. sin 30° = ½, поэтому этот катет равен половине гипотенузы. Синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике →
Катет, лежащий против угла 60°, равен половине гипотенузы.
Неверно. Половине гипотенузы равен катет против угла 30°; катет против угла 60° равен гипотенузе, умноженной на √3/2. Синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике →
Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
Верно. Это определение синуса острого угла. Синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике →
Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
Неверно. Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике →
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
Верно. Это определение тангенса острого угла. Синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике →
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Верно. Середина гипотенузы — центр описанной окружности, она равноудалена от всех вершин. Свойства прямоугольного треугольника →
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Верно. Это теорема о средней линии треугольника.
Средняя линия треугольника равна стороне, которой она параллельна.
Неверно. Средняя линия равна половине этой стороны.
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Верно. Это первый признак подобия треугольников.
Если три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Неверно. Такие треугольники подобны, но могут быть разного размера.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны.
Верно. Это третий признак равенства треугольников.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Верно. Площадь — произведение двух длин, каждая из которых умножается на коэффициент подобия.
Площади подобных треугольников относятся как их коэффициент подобия.
Неверно. Площади относятся как квадрат коэффициента подобия.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Верно. Это теорема синусов. Теорема синусов →
Углы и параллельные прямые
Вертикальные углы равны.
Верно. Каждый из них дополняет один и тот же угол до 180°.
Сумма смежных углов равна 180°.
Верно. Смежные углы вместе образуют развернутый угол.
Смежные углы всегда равны.
Неверно. Смежные углы в сумме дают 180°; равны они только когда оба прямые.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Верно. Это аксиома параллельных прямых.
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной.
Неверно. По аксиоме параллельных такая прямая только одна.
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Верно. Это признак параллельности прямых.
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы в сумме дают 180°, то прямые параллельны.
Неверно. Для параллельности соответственные углы должны быть равны; в сумме 180° дают односторонние углы.
Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
Верно. На плоскости обе прямые образуют с третьей равные (прямые) соответственные углы.
Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.
Верно. Диагональ делит четырехугольник на два треугольника: 2 · 180° = 360°.
Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°.
Неверно. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.
Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180° · (n − 2).
Верно. Диагонали из одной вершины делят n-угольник на n − 2 треугольника.
Четырехугольники и многоугольники
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Верно. Это свойство параллелограмма. Параллелограмм →
Диагонали любого параллелограмма равны.
Неверно. Диагонали равны только у прямоугольника; у произвольного параллелограмма они разные. Параллелограмм →
Противоположные стороны параллелограмма равны.
Верно. Это свойство параллелограмма. Параллелограмм →
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
Верно. Это односторонние углы при параллельных сторонах. Параллелограмм →
Противоположные углы любого параллелограмма в сумме дают 180°.
Неверно. Противоположные углы параллелограмма равны; в сумме 180° дают соседние углы. Параллелограмм →
Диагонали прямоугольника равны.
Верно. Это свойство прямоугольника. Прямоугольник и квадрат →
Диагонали любого прямоугольника перпендикулярны.
Неверно. Диагонали перпендикулярны у ромба (и квадрата), у прямоугольника — только если он квадрат. Прямоугольник и квадрат →
Диагонали ромба перпендикулярны.
Верно. Это свойство ромба. Ромб →
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Верно. Это свойство ромба. Ромб →
Диагонали любого ромба равны.
Неверно. Диагонали ромба равны только тогда, когда ромб — квадрат. Ромб →
Любой квадрат является ромбом.
Верно. У квадрата все стороны равны — значит, это ромб. Ромб →
Любой ромб является квадратом.
Неверно. Ромб — квадрат, только если его углы прямые. Ромб →
Любой прямоугольник является квадратом.
Неверно. Прямоугольник — квадрат, только если его соседние стороны равны. Прямоугольник и квадрат →
Квадрат является и прямоугольником, и ромбом.
Верно. У квадрата все углы прямые и все стороны равны. Прямоугольник и квадрат →
Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.
Верно. Это теорема о средней линии трапеции. Трапеция →
Средняя линия трапеции равна сумме ее оснований.
Неверно. Средняя линия равна полусумме оснований. Трапеция →
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
Верно. Это свойство равнобедренной трапеции. Трапеция →
Диагонали любой трапеции равны.
Неверно. Диагонали равны только у равнобедренной трапеции. Трапеция →
Диагонали равнобедренной трапеции равны.
Верно. Это свойство равнобедренной трапеции. Трапеция →
Каждый угол правильного шестиугольника равен 120°.
Верно. Сумма углов шестиугольника 180° · 4 = 720°, на каждый из шести — 120°. Правильный шестиугольник →
Сторона правильного шестиугольника равна радиусу окружности, описанной около него.
Верно. Шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников. Правильный шестиугольник →
Окружность
Длина окружности радиуса r равна 2πr.
Верно. Это формула длины окружности. Длина окружности и площадь круга →
Площадь круга радиуса r равна 2πr.
Неверно. 2πr — длина окружности; площадь круга равна πr². Длина окружности и площадь круга →
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Верно. Это теорема о вписанном угле.
Вписанный угол равен центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
Неверно. Вписанный угол равен половине центрального.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
Верно. Он равен половине развернутого центрального угла: 180° : 2 = 90°.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Верно. Это свойство касательной.
Касательная к окружности параллельна радиусу, проведенному в точку касания.
Неверно. Касательная перпендикулярна этому радиусу.
Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
Верно. Это свойство касательных из одной точки. Вписанная окружность →
Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то прямая и окружность пересекаются в двух точках.
Неверно. Если расстояние больше радиуса, общих точек нет; две общие точки — когда расстояние меньше радиуса.
Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая и окружность имеют две общие точки.
Верно. Прямая пересекает окружность.
Диаметр — самая длинная хорда окружности.
Верно. Любая хорда не длиннее суммы двух радиусов, проведенных к ее концам.
В любой треугольник можно вписать окружность.
Верно. Ее центр — точка пересечения биссектрис. Вписанная окружность →
В любой четырехугольник можно вписать окружность.
Неверно. Только если суммы противоположных сторон четырехугольника равны. Вписанная окружность →
Около любого треугольника можно описать окружность.
Верно. Ее центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Описанная окружность →
Около любой трапеции можно описать окружность.
Неверно. Только около равнобедренной трапеции. Описанная окружность →
Если около четырехугольника описана окружность, то сумма его противоположных углов равна 180°.
Верно. Это свойство вписанного четырехугольника. Описанная окружность →
Центр окружности, вписанной в треугольник, — точка пересечения его биссектрис.
Верно. Центр вписанной окружности равноудален от сторон. Вписанная окружность →
Центр окружности, вписанной в треугольник, — точка пересечения его высот.
Неверно. Это точка пересечения биссектрис. Вписанная окружность →
Центр окружности, описанной около треугольника, — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Верно. Центр описанной окружности равноудален от вершин. Описанная окружность →
Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит внутри треугольника.
Неверно. У тупоугольного треугольника он лежит вне треугольника; внутри — у остроугольного. Описанная окружность →
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
Верно. Прямой угол опирается на диаметр, значит, гипотенуза — диаметр. Описанная окружность →
Площади
Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Верно. Треугольник — половина параллелограмма с той же стороной и высотой. Площадь треугольника →
Площадь треугольника равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Неверно. Нужна половина этого произведения. Площадь треугольника →
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Верно. Один катет — высота, проведенная к другому. Свойства прямоугольного треугольника →
Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Верно. Это формула площади параллелограмма. Параллелограмм →
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Верно. Диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Ромб →
Площадь ромба равна произведению его диагоналей.
Неверно. Нужна половина произведения диагоналей. Ромб →
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.
Верно. Это формула площади трапеции. Трапеция →
Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон.
Верно. Это формула площади прямоугольника. Прямоугольник и квадрат →
Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.
Неверно. Площадь квадрата — половина произведения диагоналей (половина квадрата диагонали). Прямоугольник и квадрат →
Площадь круга радиуса r равна πr².
Верно. Это формула площади круга. Длина окружности и площадь круга →