Задание 18 ОГЭ: фигуры на квадратной решетке

ОГЭ по математике · Часть 1 · краткий ответ · 1 балл

Что проверяет. Длины, углы и площади фигур, нарисованных на клетчатой бумаге: длину считают по клеткам, площадь — по формуле или разбиением на части.

Что нужно знать и уметь

площади треугольника, трапеции, параллелограмма
теорема Пифагора для отрезка по клеткам

Теория к заданию

Площадь треугольникаПлощадь треугольника — половина произведения стороны на высоту к ней или двух сторон на синус угла между ними.ТрапецияСредняя линия — полусумма оснований, площадь — средняя линия, умноженная на высоту.ПараллелограммПротивоположные стороны и углы равны, соседние углы в сумме дают 180°, диагонали делятся пополам.РомбВсе стороны равны, диагонали перпендикулярны, делят друг друга и углы ромба пополам.Теорема ПифагораВ прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.Синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольникеСинус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего катета к гипотенузе, тангенс — катетов.

Примеры задач

В тренажере такие задачи генерируются заново — с другими фигурами и числами.

Решать в тренажере

Длина отрезка на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге отмечены точки A и B. Размер клетки 1 × 1. Найдите длину отрезка AB.

Ответ и решение

Ответ: 5

Отрезок AB — гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого идут по линиям сетки.

Δ x, Δ y

Δ x = 3, Δ y = 4

3, 4

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

A B = \sqrt{Δ x^{2} + Δ y^{2}}

A B = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25}

A B = 5

Средняя линия трапеции на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге изображена трапеция ABCD. Размер клетки 1 × 1. Найдите длину ее средней линии.

Ответ и решение

Ответ: 7

Основания трапеции идут по линиям сетки.

A D = a, B C = b

a = 9, b = 5

a = 9, b = 5

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

m = \frac{a + b}{2}

m = \frac{9 + 5}{2}

m = 7

Площадь параллелограмма на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге изображен параллелограмм ABCD. Размер клетки 1 × 1. Найдите его площадь.

Ответ и решение

Ответ: 20

Сторона AD — по линии сетки, высота — расстояние до противоположной стороны.

A D = a, h

a = 4, h = 5

a = 4, h = 5

Площадь параллелограмма — произведение стороны на высоту к ней.

S = a h

S = 4 \cdot 5

S = 20

Площадь ромба на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге изображен ромб ABCD. Размер клетки 1 × 1. Найдите его площадь.

Ответ и решение

Ответ: 12

Диагонали ромба идут по линиям сетки — считаем клетки.

A C = d_{1}, B D = d_{2}

d_{1} = 6, d_{2} = 4

d_{1} = 6, d_{2} = 4

Площадь ромба — половина произведения диагоналей.

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4

S = 12

Тангенс угла на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге изображен треугольник ABC с прямым углом C. Размер клетки 1 × 1. Найдите тангенс угла BAC.

Ответ и решение

Ответ: 0,5

Катет BC — противолежащий углу A, катет AC — прилежащий; оба идут по линиям сетки.

B C, A C

B C = 4, A C = 8

4, 8

Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.

t g A = \frac{B C}{A C}

t g A = \frac{4}{8}

t g A = 0,5

Площадь трапеции на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге изображена трапеция ABCD. Размер клетки 1 × 1. Найдите ее площадь.

Ответ и решение

Ответ: 15

Основания идут по горизонтальным линиям сетки, высота — расстояние между ними.

A D = a, B C = b, h

a = 6, b = 4, h = 3

a = 6, b = 4, h = 3

Площадь трапеции — полусумма оснований, умноженная на высоту.

S = \frac{a + b}{2} h

S = \frac{6 + 4}{2} \cdot 3

S = 15

Площадь треугольника на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге изображен треугольник ABC. Размер клетки 1 × 1. Найдите его площадь.

Ответ и решение

Ответ: 7

Сторона AB идет по линии сетки — ее длина равна числу клеток; высота из C — число клеток по вертикали до прямой AB (она может падать на продолжение стороны).

A B = a, h = расстояние от C до A B

a = 7, h = 2

a = 7, h = 2

Площадь треугольника — половина произведения стороны на высоту к ней.

S = \frac{1}{2} a h

S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 2

S = 7