GeoSolver

Произвольный треугольник: калькулятор с решением

Произвольный треугольник общего вида со сторонами a, b, c и противолежащими углами α, β, γ.

Введите любые известные величины — остальные будут вычислены с доказательством. Если по данным получается несколько фигур, будут показаны все решения.

Произвольный треугольник задают три независимые величины: например, три стороны, две стороны и угол или сторона и два угла. По ним калькулятор находит все остальные элементы — углы, высоты, медианы, биссектрисы, радиусы вписанной и описанной окружностей, площадь и периметр — и показывает решение по шагам. Если данных недостаточно или по ним получается два разных треугольника, калькулятор об этом скажет.

Формулы

Примеры с решением

Три стороны: 13, 14 и 15

Найдите площадь треугольника, радиусы вписанной и описанной окружностей и высоту к стороне 14. Полупериметр p = 21, по формуле Герона S = √(21·8·7·6) = 84. Тогда r = S/p = 4, R = abc/(4S) = 2730/336 = 8,125, высота к стороне b = 14 равна 2S/b = 12. Решить в калькуляторе

Две стороны и угол между ними

Стороны 5 и 8, угол между ними 60°. По теореме косинусов третья сторона c² = 25 + 64 − 2·5·8·½ = 49, c = 7. Площадь S = ½·5·8·sin 60° = 10√3 ≈ 17,32. Решить в калькуляторе

Сторона и два угла

Сторона a = 10, углы α = 30° (против нее) и β = 45°. Третий угол γ = 180° − 30° − 45° = 105°. По теореме синусов b = a·sin β / sin α = 10√2 ≈ 14,14, а радиус описанной окружности R = a/(2 sin α) = 10. Решить в калькуляторе

Когда решений два

Стороны a = 6 и b = 8, угол α = 30° против стороны a. По теореме синусов sin β = 8·0,5/6 ≈ 0,667, и подходят два угла: β ≈ 41,8° и β ≈ 138,2°. Оба треугольника существуют — калькулятор покажет оба решения. Решить в калькуляторе

Задачи с решением

Частые вопросы

Как найти площадь треугольника по трем сторонам?

По формуле Герона: найдите полупериметр p = (a + b + c)/2 и вычислите S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). Например, для сторон 13, 14 и 15 получается p = 21 и S = 84.

Какие данные нужны, чтобы решить треугольник?

Три независимые величины, среди которых хотя бы одна длина: три стороны, две стороны и угол, сторона и два угла, а также сочетания с высотой, медианой, площадью или радиусами. Только трех углов недостаточно — они задают форму, но не размер.

Почему иногда у задачи два ответа?

Если известны две стороны и угол не между ними, теорема синусов может дать два подходящих угла: острый и тупой. Тогда существуют два разных треугольника, и оба являются решениями.

Как найти третью сторону треугольника?

Если известны две стороны и угол между ними — по теореме косинусов: c² = a² + b² − 2ab·cos γ. Если известны сторона и два угла — по теореме синусов.

Что находит калькулятор

Интерактивный чертеж: произвольный треугольник