Радиус описанной окружности треугольника по трем сторонам

Условие

Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Дано:

сторона a = 13 см
сторона b = 14 см
сторона c = 15 см

Найти: радиус описанной окружности

Чертеж к задаче: синим — данные, красным — что нужно найти

Решение

Шаг 1. Теорема косинусов (угол α)

Угол находится по теореме косинусов через три известные стороны.

\cos α = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} ⟹ α = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})

\cos α = \frac{14^{2} + 15^{2} - 13^{2}}{2 \cdot 14 \cdot 15} = 0.6

α = {53.1301}^{\circ}

Шаг 2. Радиус описанной окружности (теорема синусов, сторона a)

По расширенной теореме синусов отношение стороны к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности (2R).

R = \frac{a}{2 \sin α}

R = \frac{13}{2 \cdot \sin ({53.1301}^{\circ})}

R = 8.125

Ответ: 65/8 = 8,125 см

Решить с другими числами в калькуляторе

Решение построено калькулятором GeoSolver. В калькуляторе можно поменять данные, посмотреть чертеж и найти остальные величины фигуры: произвольный треугольник.

Радиус описанной окружности треугольника по трем сторонам

Условие

Решение

Шаг 1. Теорема косинусов (угол α)

Шаг 2. Радиус описанной окружности (теорема синусов, сторона a)

Похожие задачи