Медиана треугольника, проведенная из вершины угла

Условие

Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, угол между ними — 90°. Найдите медиану, проведенную из вершины этого угла.

Дано:

сторона b = 6 см
сторона c = 8 см
угол α = 90°

Найти: медиана m_a к стороне a

Чертеж к задаче: синим — данные, красным — что нужно найти

Решение

Шаг 1. Теорема косинусов (сторона a)

Сторона выражается по теореме косинусов через две другие стороны и угол между ними.

a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α}

a = \sqrt{6^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos (90^{\circ})}

a = 10

Почему так?

Теорема косинусов. Для любого треугольника со сторонами a, b, c и углом γ против стороны c: c² = a² + b² − 2ab·cos γ. При γ = 90° косинус равен нулю, и получается теорема Пифагора.

Подробнее в теории →

Шаг 2. Медиана m_a к стороне a

Длина медианы вычисляется через длины трех сторон треугольника.

m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}

m_{a} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 6^{2} + 2 \cdot 8^{2} - 10^{2}}

m_{a} = 5

Почему так?

Медиана треугольника. Медиана к стороне a: mₐ = ½·√(2b² + 2c² − a²). Три медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Подробнее в теории →

Ответ: 5 см

Решить с другими числами в калькуляторе

Решение построено калькулятором GeoSolver. В калькуляторе можно поменять данные, посмотреть чертеж и найти остальные величины фигуры: произвольный треугольник.

Медиана треугольника, проведенная из вершины угла

Условие

Решение

Шаг 1. Теорема косинусов (сторона a)

Шаг 2. Медиана m_a к стороне a

Похожие задачи