Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

Условие

В треугольнике сторона a = 8 см, а прилежащие к ней углы равны 45° и 75°. Найдите площадь треугольника.

Дано:

сторона a = 8 см
угол β = 45°
угол γ = 75°

Найти: площадь S

Чертеж к задаче: синим — данные, красным — что нужно найти

Решение

Шаг 1. Сумма углов (угол α)

Сумма углов любого треугольника равна 180°.

α = 180^{\circ} - (β + γ)

α = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 75^{\circ})

α = 60^{\circ}

Почему так?

Сумма углов треугольника. В любом треугольнике α + β + γ = 180°. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

Подробнее в теории →

Шаг 2. Теорема синусов (сторона b)

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

b = a \cdot \frac{\sin β}{\sin α}

b = 8 \cdot \frac{\sin (45^{\circ})}{\sin (60^{\circ})}

b = 6.532

Почему так?

Теорема синусов. В любом треугольнике a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R, где R — радиус описанной окружности.

Подробнее в теории →

Шаг 3. Площадь через a, b и угол γ

Площадь равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.

S = \frac{1}{2} a b \sin γ

S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6.532 \cdot \sin (75^{\circ})

S = 25.2376

Почему так?

Площадь треугольника. S = ½·a·hₐ = ½·ab·sin γ. Через радиусы: S = abc / (4R) = p·r. Отсюда же высота: hₐ = 2S / a.

Подробнее в теории →

Ответ: 16 + 16√3/3 ≈ 25,24 см²

Решить с другими числами в калькуляторе

Решение построено калькулятором GeoSolver. В калькуляторе можно поменять данные, посмотреть чертеж и найти остальные величины фигуры: произвольный треугольник.

Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

Условие

Решение

Шаг 1. Сумма углов (угол α)

Шаг 2. Теорема синусов (сторона b)

Шаг 3. Площадь через a, b и угол γ

Похожие задачи