Высота треугольника по двум сторонам и углу между ними

Условие

Две стороны треугольника равны 5 см и 8 см, угол между ними — 60°. Найдите высоту, проведенную к третьей стороне.

Дано:

сторона a = 5 см
сторона b = 8 см
угол γ = 60°

Найти: высота h_c к стороне c

Чертеж к задаче: синим — данные, красным — что нужно найти

Решение

Шаг 1. Площадь через a, b и угол γ

Площадь равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.

S = \frac{1}{2} a b \sin γ

S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin (60^{\circ})

S = 17.3205

Почему так?

Площадь треугольника. S = ½·a·hₐ = ½·ab·sin γ. Через радиусы: S = abc / (4R) = p·r. Отсюда же высота: hₐ = 2S / a.

Подробнее в теории →

Шаг 2. Теорема косинусов (сторона c)

Сторона выражается по теореме косинусов через две другие стороны и угол между ними.

c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ}

c = \sqrt{5^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos (60^{\circ})}

c = 7

Почему так?

Теорема косинусов. Для любого треугольника со сторонами a, b, c и углом γ против стороны c: c² = a² + b² − 2ab·cos γ. При γ = 90° косинус равен нулю, и получается теорема Пифагора.

Подробнее в теории →

Шаг 3. Высота h_c через площадь

Высота равна удвоенной площади, деленной на сторону.

h_{c} = \frac{2 S}{c}

h_{c} = \frac{2 \cdot 17.3205}{7}

h_{c} = 4.9487

Почему так?

Площадь треугольника. S = ½·a·hₐ = ½·ab·sin γ. Через радиусы: S = abc / (4R) = p·r. Отсюда же высота: hₐ = 2S / a.

Подробнее в теории →

Ответ: 20√3/7 ≈ 4,95 см

Решить с другими числами в калькуляторе

Решение построено калькулятором GeoSolver. В калькуляторе можно поменять данные, посмотреть чертеж и найти остальные величины фигуры: произвольный треугольник.

Высота треугольника по двум сторонам и углу между ними

Условие

Решение

Шаг 1. Площадь через a, b и угол γ

Шаг 2. Теорема косинусов (сторона c)

Шаг 3. Высота h_c через площадь

Похожие задачи