Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника

Условие

Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, боковая сторона — 13 см. Найдите радиус вписанной окружности.

Дано:

основание a = 10 см
боковая сторона b = 13 см

Найти: радиус вписанной окружности r

Чертеж к задаче: синим — данные, красным — что нужно найти

Решение

Шаг 1. Высота к основанию по теореме Пифагора

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит основание пополам.

h_{a} = \sqrt{b^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}}

h_{a} = \sqrt{13^{2} - {(\frac{10}{2})}^{2}} = \sqrt{169 - 25}

h_{a} = 12

Почему так?

Теорема Пифагора. Если в треугольнике угол между сторонами a и b прямой, то для гипотенузы c выполняется c² = a² + b². Верно и обратное: если c² = a² + b², то угол против стороны c прямой.

Подробнее в теории →

Шаг 2. Площадь через основание и высоту к нему

Площадь равна половине произведения основания на высоту к нему.

S = \frac{1}{2} a \cdot h_{a}

S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12

S = 60

Почему так?

Равнобедренный треугольник. Если b — боковая сторона, a — основание, α — угол при вершине, β — угол при основании, то β = (180° − α)/2, высота к основанию h = √(b² − a²/4), основание a = 2b·sin(α/2).

Подробнее в теории →

Шаг 3. Периметр равнобедренного треугольника

Периметр равнобедренного треугольника равен сумме основания и удвоенной боковой стороны.

P = a + 2 b

P = 10 + 2 \cdot 13

P = 36

Почему так?

Периметр и полупериметр. P = a + b + c + …, p = P/2. Прямоугольник: P = 2(a + b), квадрат и ромб: P = 4a, правильный n-угольник: P = n·a.

Подробнее в теории →

Шаг 4. Полупериметр равнобедренного треугольника

Полупериметр равен половине периметра.

p = \frac{P}{2}

p = \frac{36}{2}

p = 18

Почему так?

Подробнее в теории →

Шаг 5. Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности любого описанного многоугольника равен отношению площади к полупериметру.

r = \frac{S}{p}

r = \frac{60}{18}

r = 3.3333

Почему так?

Вписанная окружность. Для треугольника и любого многоугольника, в который можно вписать окружность, S = p·r, то есть r = S/p. В четырехугольник окружность вписывается, только если суммы противоположных сторон равны.

Подробнее в теории →

Ответ: 10/3 ≈ 3,33 см

Решить с другими числами в калькуляторе

Решение построено калькулятором GeoSolver. В калькуляторе можно поменять данные, посмотреть чертеж и найти остальные величины фигуры: равнобедренный треугольник.

Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника

Условие

Решение

Шаг 1. Высота к основанию по теореме Пифагора

Шаг 2. Площадь через основание и высоту к нему

Шаг 3. Периметр равнобедренного треугольника

Шаг 4. Полупериметр равнобедренного треугольника

Шаг 5. Радиус вписанной окружности

Похожие задачи