GeoSolverРадиус окружности, описанной около равнобедренной трапеции
Условие
Основания равнобедренной трапеции равны 14 см и 6 см, боковая сторона — 5 см. Найдите радиус описанной окружности.
- большее основание a = 14 см
- меньшее основание b = 6 см
- боковая сторона c = 5 см
Решение
Шаг 1. Диагональ равнобедренной трапеции (теорема Птолемея)
Для вписанного четырехугольника по теореме Птолемея d² = ab + c².
Почему так?
Трапеция. m = (a + b)/2, S = (a + b)/2 · h = m·h. В равнобедренной трапеции проекция боковой стороны на основание равна (a − b)/2, поэтому h = √(c² − ((a − b)/2)²), а диагональ d = √(h² + ((a + b)/2)²). В прямоугольной трапеции одна боковая сторона равна высоте, наклонная — √(h² + (a − b)²).
Шаг 2. Высота трапеции через боковую сторону и основания
Высота находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника с гипотенузой c и катетом (a-b)/2.
Почему так?
Трапеция. m = (a + b)/2, S = (a + b)/2 · h = m·h. В равнобедренной трапеции проекция боковой стороны на основание равна (a − b)/2, поэтому h = √(c² − ((a − b)/2)²), а диагональ d = √(h² + ((a + b)/2)²). В прямоугольной трапеции одна боковая сторона равна высоте, наклонная — √(h² + (a − b)²).
Шаг 3. Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции
Описанная около трапеции окружность совпадает с описанной окружностью треугольника с боковой стороной c и диагональю d. По формуле R = cd/(2h).
Почему так?
Описанная окружность. Для треугольника R = abc/(4S) = a/(2·sin α). У прямоугольного треугольника R = c/2, у прямоугольника R = d/2, у правильного шестиугольника R = a. Около четырехугольника окружность описывается, только если сумма противоположных углов равна 180°.
Решить с другими числами в калькуляторе
Решение построено калькулятором GeoSolver. В калькуляторе можно поменять данные, посмотреть чертеж и найти остальные величины фигуры: равнобедренная трапеция.