GeoSolver
Правильная 4-угольная пирамида: калькулятор с решением
Пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной a, а вершина проецируется в центр основания.
Введите любые известные величины — остальные будут вычислены с доказательством. Если по данным получается несколько фигур, будут показаны все решения.
В правильной четырехугольной пирамиде основание — квадрат, а вершина проецируется в его центр. Боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Для решения нужны две величины, например сторона основания и высота или сторона и боковое ребро.
Формулы
- Объем: V = ⅓·a²·h
- Апофема и боковое ребро: L = √(h² + a²/4), b = √(h² + a²/2)
- Площадь поверхности: S бок = 2aL, S = a² + 2aL
- Радиусы сфер: R = b²/(2h), r = a·h/(a + 2L)
- Угол наклона грани: tg β = 2h/a
Примеры с решением
Сторона основания 6, высота 4
Апофема L = √(16 + 9) = 5, боковая поверхность 2·6·5 = 60, полная поверхность S = 36 + 60 = 96, объем V = ⅓·36·4 = 48. Радиус вписанной сферы r = 24/16 = 1,5. Решить в калькуляторе
Сторона основания 10, боковое ребро 13
Половина диагонали основания 5√2, высота h = √(169 − 50) = √119 ≈ 10,91, апофема L = √(169 − 25) = 12, объем V = 100·√119/3 ≈ 363,62. Решить в калькуляторе
Частые вопросы
Как найти объем правильной четырехугольной пирамиды?
V = ⅓·a²·h: треть произведения площади квадрата в основании на высоту.
Как найти апофему пирамиды?
L = √(h² + (a/2)²): апофема, высота и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник.
Как найти высоту по боковому ребру?
h = √(b² − a²/2): боковое ребро, высота и половина диагонали основания образуют прямоугольный треугольник.
Что находит калькулятор
- Сторона основания a (a, см)
- Высота пирамиды h (h, см)
- Апофема L (L, см)
- Боковое ребро b (b, см)
- Диагональ основания (dосн, см)
- Площадь основания (Sосн, см²)
- Боковая площадь (Sбок, см²)
- Полная площадь S (S, см²)
- Объем V (V, см³)
- Радиус описанной сферы (R, см)
- Радиус вписанной сферы (r, см)
- Угол наклона ребра (α, °)
- Угол наклона грани (β, °)
- Диагональное сечение (Sдиаг, см²)