Главная › Задачи › Стереометрия › Объем правильной четырехугольной пирамиды по стороне основания и апофеме

Объем правильной четырехугольной пирамиды по стороне основания и апофеме

Условие

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см, апофема — 13 см. Найдите объем пирамиды.

Дано:

сторона основания a = 10 см
апофема L = 13 см

Найти: объем V

Чертеж к задаче: синим — данные, красным — что нужно найти

Решение

Шаг 1. Высота пирамиды через апофему

Высота пирамиды по теореме Пифагора из апофемы L и половины стороны a/2.

h = \sqrt{L^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}}

h = \sqrt{13^{2} - {(\frac{10}{2})}^{2}}

h = 12

Почему так?

Правильная пирамида и тетраэдр. V = ⅓·S_осн·h, S_бок = ½·P_осн·L. У правильной четырехугольной пирамиды апофема L = √(h² + (a/2)²), боковое ребро b = √(h² + a²/2). Правильный тетраэдр с ребром a: h = a√6/3, V = a³√2/12, S = a²√3.

Подробнее в теории →

Шаг 2. Объем правильной 4-угольной пирамиды

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания (a²) на высоту.

V = \frac{1}{3} a^{2} h

V = \frac{1}{3} \cdot 10^{2} \cdot 12 = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12

V = 400

Почему так?

Подробнее в теории →

Ответ: 400 см³

Решить с другими числами в калькуляторе

Решение построено калькулятором GeoSolver. В калькуляторе можно поменять данные, посмотреть чертеж и найти остальные величины фигуры: правильная 4-угольная пирамида.

Объем правильной четырехугольной пирамиды по стороне основания и апофеме

Условие

Решение

Шаг 1. Высота пирамиды через апофему

Шаг 2. Объем правильной 4-угольной пирамиды

Похожие задачи