Главная › Задачи › Планиметрия › Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Условие

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 2 см. Найдите площадь треугольника.

Дано:

радиус вписанной окружности r = 2 см

Найти: площадь S

Чертеж к задаче: синим — данные, красным — что нужно найти

Решение

Шаг 1. Сторона через радиус вписанной окружности

Сторона правильного треугольника через радиус вписанной окружности.

a = 2 \sqrt{3} \cdot r

a = 2 \sqrt{3} \cdot 2

a = 6.9282

Почему так?

Вписанная окружность. Для треугольника и любого многоугольника, в который можно вписать окружность, S = p·r, то есть r = S/p. В четырехугольник окружность вписывается, только если суммы противоположных сторон равны.

Подробнее в теории →

Шаг 2. Площадь равностороннего треугольника

Формула площади равностороннего треугольника через его сторону.

S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

S = \frac{{6.9282}^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{48 \cdot 1.7321}{4}

S = 20.7846

Почему так?

Равносторонний треугольник. h = a√3/2, S = a²√3/4, радиус описанной окружности R = a√3/3 = 2h/3, вписанной r = a√3/6 = h/3, R = 2r.

Подробнее в теории →

Ответ: 12√3 ≈ 20,78 см²

Решить с другими числами в калькуляторе

Решение построено калькулятором GeoSolver. В калькуляторе можно поменять данные, посмотреть чертеж и найти остальные величины фигуры: равносторонний треугольник.

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Условие

Решение

Шаг 1. Сторона через радиус вписанной окружности

Шаг 2. Площадь равностороннего треугольника

Похожие задачи