Радиус сферы, описанной около конуса

Условие

Радиус основания конуса равен 4 см, высота — 8 см. Найдите радиус сферы, описанной около конуса.

Дано:

радиус основания R = 4 см
высота h = 8 см

Найти: радиус описанной сферы

Чертеж к задаче: синим — данные, красным — что нужно найти

Решение

Шаг 1. Образующая конуса (теорема Пифагора)

Осевое сечение конуса содержит прямоугольный треугольник с катетами R и h и гипотенузой l.

l = \sqrt{R^{2} + h^{2}}

l = \sqrt{4^{2} + 8^{2}} = \sqrt{80}

l = 8.9443

Почему так?

Теорема Пифагора. Если в треугольнике угол между сторонами a и b прямой, то для гипотенузы c выполняется c² = a² + b². Верно и обратное: если c² = a² + b², то угол против стороны c прямой.

Подробнее в теории →

Шаг 2. Радиус описанной сферы конуса

Радиус сферы, проходящей через вершину конуса и окружность его основания.

R_{с ф е р} = \frac{l^{2}}{2 h}

R_{с ф е р} = \frac{{8.9443}^{2}}{2 \cdot 8}

R_{с ф е р} = 5

Почему так?

Конус. l = √(R² + h²), V = ⅓·πR²h, S_бок = πRl, S = πR(R + l). Осевое сечение — равнобедренный треугольник площадью R·h, угол наклона образующей: tg α = h/R. Радиус описанной сферы (h² + R²)/(2h), вписанной — Rh/(R + l).

Подробнее в теории →

Ответ: 5 см

Решить с другими числами в калькуляторе

Решение построено калькулятором GeoSolver. В калькуляторе можно поменять данные, посмотреть чертеж и найти остальные величины фигуры: конус.

Радиус сферы, описанной около конуса

Условие

Решение

Шаг 1. Образующая конуса (теорема Пифагора)

Шаг 2. Радиус описанной сферы конуса

Похожие задачи