Задание 2 ЕГЭ: векторы

ЕГЭ по математике профильного уровня · Часть 1 · краткий ответ · 1 балл

Что проверяет. Действия с векторами, координаты, скалярное произведение и угол между векторами.

Что нужно знать и уметь

В тренажере такие задачи генерируются заново — с другими фигурами и числами.

Даны векторы a(2; 0) и b(1; -1). Найдите угол между ними. Ответ дайте в градусах.

Ответ и решение

Ответ: 45°

Скалярное произведение — сумма произведений координат.

\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

\vec{a} \cdot \vec{b} = (2) \cdot (1) + (0) \cdot (- 1)

\vec{a} \cdot \vec{b} = 2

Косинус 0 — угол 90°, √2/2 — 45°, −√2/2 — 135°.

\cos φ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}

\cos φ = \frac{2}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}}

φ = 45^{\circ}

Даны векторы a(5; 2) и b(0; -5). Найдите ординату вектора c = 4a − b.

Ответ и решение

Ответ: 13

Вектор умножается на число покоординатно, при сложении и вычитании координаты складываются и вычитаются.

k \vec{a} \pm m \vec{b} = (k x_{1} \pm m x_{2}; k y_{1} \pm m y_{2})

\vec{c} = (4 \cdot (5) - 1 \cdot (0); 4 \cdot (2) - 1 \cdot (- 5))

\vec{c} = (20; 13)

Даны векторы a(-4; 3) и b(6; -8). Найдите косинус угла между ними.

Ответ и решение

Ответ: -0,96

Скалярное произведение — сумма произведений координат.

\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

\vec{a} \cdot \vec{b} = (- 4) \cdot (6) + (3) \cdot (- 8)

\vec{a} \cdot \vec{b} = - 48

Длина вектора — корень из суммы квадратов координат.

| \vec{a} | = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}

| \vec{a} | = \sqrt{(- 4)^{2} + (3)^{2}}, | \vec{b} | = \sqrt{(6)^{2} + (- 8)^{2}}

| \vec{a} | = 5, | \vec{b} | = 10

Косинус угла — скалярное произведение, деленное на произведение длин.

\cos φ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}

\cos φ = \frac{- 48}{5 \cdot 10}

\cos φ = - 0,96

Даны векторы a(6; -6) и b(2; 6). Найдите скалярное произведение векторов a и b.

Ответ и решение

Ответ: -24

Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.

\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

\vec{a} \cdot \vec{b} = (6) \cdot (2) + (- 6) \cdot (6)

\vec{a} \cdot \vec{b} = - 24

При каком значении k векторы a(k; 2) и b(1; -1) перпендикулярны?

Ответ и решение

Ответ: 2

Векторы перпендикулярны, когда их скалярное произведение равно нулю.

\vec{a} ⟂ \vec{b} ⟺ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

k \cdot (1) + (2) \cdot (- 1) = 0

k = 2

Даны векторы a(1; 5) и b(-6; -5). Найдите длину вектора a + b.

Ответ и решение

Ответ: 5

При сложении векторов их координаты складываются.

\vec{a} + \vec{b} = (x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2})

\vec{a} + \vec{b} = (1 + (- 6); 5 + (- 5))

\vec{a} + \vec{b} = (- 5; 0)

Длина вектора — корень из суммы квадратов координат (теорема Пифагора).

| \vec{c} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{(- 5)^{2} + (0)^{2}}

| \vec{a} + \vec{b} | = 5