Векторы на плоскости

Вектор задается координатами; через них находят сумму, длину, скалярное произведение и угол между векторами.

Формулировка. Если a(x₁; y₁) и b(x₂; y₂), то a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂), k·a = (kx₁; ky₁), |a| = √(x₁² + y₁²), a · b = x₁x₂ + y₁y₂, а косинус угла между векторами равен a · b / (|a| · |b|). Векторы перпендикулярны, когда их скалярное произведение равно нулю.

Синим — известные величины, красным — та, что находится по формуле

Формулы

Сумма

\vec{a} + \vec{b} = (x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2})

Длина вектора

| \vec{a} | = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}

Скалярное произведение

\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

Угол между векторами

\cos φ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}

Почему это верно

Координаты вектора — это проекции на оси: насколько он сдвигает точку вправо и вверх. Поэтому при сложении векторов их сдвиги, то есть координаты, складываются.

Длина вектора — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами |x| и |y|, отсюда формула по теореме Пифагора.

Скалярное произведение равно |a|·|b|·cos φ; в координатах оно записывается как x₁x₂ + y₁y₂. Если оно равно нулю, cos φ = 0 — угол прямой.

Пример

Даны векторы a(2; 0) и b(1; -1). Найдите угол между ними. Ответ дайте в градусах.

\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

\vec{a} \cdot \vec{b} = (2) \cdot (1) + (0) \cdot (- 1)

\vec{a} \cdot \vec{b} = 2

\cos φ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}

\cos φ = \frac{2}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}}

φ = 45^{\circ}

Ответ: 45° · Еще задачи этого типа →